Önemli noktalar

Geçen hafta ele aldığımız üçgenin dikkat çekici noktaları, tekrarı mazur görün, değerli okuyucularım arasında önemli bir ilgi uyandırdı ve bu da beni konuyu araştırmaya devam etmeye teşvik etti. Bir üçgenin kenarlarının üç dik açıortayının bir noktada kesiştiğini göstermek kolaydır.

ABC üçgeni verildiğinde, AB kenarının dik açıortayındaki tüm noktalar A ve B'ye eşit uzaklıktadır ve AC kenarının dik açıortayındaki tüm noktalar A ve C'ye eşit uzaklıktadır; bu nedenle, her iki dik açıortayın kesişim noktası da B ve C'ye eşit uzaklıktadır, dolayısıyla BC'nin dik açıortayı buradan geçmelidir. Ve bu nokta üçgenin üç köşesinden eşit uzaklıkta olduğundan, bu köşelerden geçen çemberin merkezi, yani çevrel çemberin merkezidir.

Açıortayların bir noktada kesiştiğinin gösterimi de buna benzerdir: A açısının açıortayının tüm noktaları AB ve AC kenarlarından eşit uzaklıktadır; B açısının açıortayının tüm noktaları AB ve BC kenarlarından eşit uzaklıktadır; bu nedenle, her iki açıortayın kesişim noktası da AC ve BC kenarlarından eşit uzaklıkta olacak ve dolayısıyla C açısının açıortayı buradan geçecektir. Ve bu nokta üçgenin üç kenarına da eşit uzaklıkta olduğundan, üçüne de teğet olan çemberin merkezidir, yani iç merkezdir.

Medyanların bir noktada kesiştiğinin gösterimi o kadar basit değil. Bretos Bursó'nun yinelemeli önerisini ilginç buldum: "T0 başlangıç ​​üçgeni olsun. Her kenarın orta noktaları, Thales teoremine göre T0'a benzer bir T1 üçgeninin köşeleridir ve aynı teoreme göre, T0'ın her medyanı T1'in bir medyanını içerir. İçeriği azalan benzer üçgenlerden oluşan bir dizi Tn'yi ele alarak sonsuza kadar yineleme yapılabilir; şimdi her durumda, iç kısmı içeren kompakt üçgene üçgen diyorum. Tüm üçgenlerde, medyanlar başlangıçtakilerin parçalarıdır; ve Cantor teoremine göre, hepsinin kesişimi, elemanı üç medyan üzerinde olması gereken tek noktalı bir kümedir. Bu nokta ağırlık merkezidir."

Manuel Amorós'un dediği gibi: "Bir üçgenin ağırlık merkezini belirlemenin fiziksel bir yolu, ağırlıklı bir ip asmak olabilir. Bu ipin bir noktasında, üçgenin levhasını köşelerinden birinden asıyoruz. Levhayı kesen ip bir kenarortay oluşturacaktır. Aynı işlemi başka bir köşeden sarkıtarak tekrarladığımızda, kesişim noktası ağırlık merkezi olacak iki kenarortay elde ederiz." Bu işlem bir beşgen veya başka herhangi bir şekil için de geçerlidir.

Diklik merkeziyle ilgili olarak, bir üçgenin yüksekliklerinin bir noktada kesiştiğini göstermek için Öklid , her bir köşeden karşı kenara paralel bir doğru çizmiştir. Bu üç doğru kesiştiğinde, dik açıortayları orijinal üçgenin yükseklikleri olan bir üçgen oluşturur ve daha önce de gösterdiğimiz gibi, dik açıortaylar bir noktada kesişir...

Feuerbach çevresi

Yeni eklenen yorumcu María Beatriz Collado şöyle diyor: " Bir üçgenin temel noktaları hakkında bir gazete makalesi okumayı çok seviyorum. Bundan sonra, geometride karşılaştığım en harika şey olan 9 noktalı çemberden bahseder misiniz?"

Evet, bu harika bir konu ve ileride bir yazıda buna yer vereceğim. Zamanım tükendiği için, sadece şunu söyleyebilirim (ve duyurabilirim):

9 noktalı çember , herhangi bir üçgende üç kenarın orta noktalarından, üç yüksekliğin tabanlarından ve üç köşeyi üçgenin diklik merkezine bağlayan doğru parçalarının orta noktalarından geçen çemberdir. Feuerbach çemberi olarak da bilinir. Ama dediğim gibi, bu ayrı bir yazı konusu olacak.