Wie lange würde ein Affe brauchen, um „Hamlet“ zu schreiben?

Das sogenannteInfinite-Monkey-Theorem besagt, dass ein Affe, der eine Schreibmaschine bedient und willkürlich Tasten drückt, irgendwann jedes literarische Werk schreiben würde: Hamlet , Don Quijote oder sogar einen selbstgeschriebenen Bestseller . Obwohl diese Annahme in der Praxis wenig anwendbar ist – es ist zumindest kompliziert, einen unsterblichen Affen zu haben, der ewig tippen will –, ermöglicht sie die Erforschung sehr interessanter Konzepte wie Zufälligkeit, Verhalten im Unendlichen und Berechnungen auf Basis der Generierung pseudozufälliger Zahlen.

Dies ist eine direkte Folge des zweiten Borel-Cantelli-Lemmas . Dieses Lemma besagt, dass, wenn jeder Versuch, ein bestimmtes Ergebnis zu erzielen, unabhängig von allen anderen ist und eine Erfolgswahrscheinlichkeit größer als null hat, dieses Ergebnis bei genügend Versuchen unendlich oft eintritt. Im Fall des Infinite-Monkey-Theorems ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein Affe einen bestimmten Text in einem einzigen Versuch eintippt, sehr gering, aber nicht null, wenn er unbegrenzt oft zufällig Tasten drückt. Da die Versuche unendlich oft wiederholt werden und unabhängig voneinander sind, wird der Affe gemäß dem Lemma den gewünschten Text schließlich unendlich oft eintippen.

Um dieses Theorem zu erfüllen, müssen mehrere Annahmen getroffen werden. Die erste ist, dass der Affe zufällig tippen muss. Umgangssprachlich versteht man unter einem Zufallsphänomen ein Phänomen, dessen Ausgang sich im Vorfeld nicht mit Sicherheit bestimmen lässt, selbst wenn die Anfangsbedingungen bekannt sind. Beispiele für Zufälligkeit sind der Würfelwurf oder die Ziehung im Weihnachtslotto. Beim Affen wird angenommen, dass bei jedem Tastendruck alle Buchstaben des Alphabets mit der gleichen Wahrscheinlichkeit gezogen werden, unabhängig vom bereits geschriebenen Text.

Diese Bedingung ermöglicht es uns, die Wahrscheinlichkeit zu berechnen, mit der der Affe eine beliebige Sequenz eingibt. Beispielsweise beträgt die Wahrscheinlichkeit , „Hallo“ durch zufälliges Drücken von vier Tasten auf einer spanischen Tastatur einzugeben (nur die Buchstaben und das Leerzeichen berücksichtigend), (1/27)^4, also ungefähr 0,0000019. Dieser kleine Wert für eine so kurze Sequenz zeigt bereits, wie komplex das Problem ist.

Hier kommt die zweite Annahme des Theorems: Es steht unendlich viel Zeit zur Verfügung und damit auch unendlich viele Versuche. Nach n Versuchen, die der Einfachheit halber als isoliert angenommen werden, beträgt die Wahrscheinlichkeit, dass die Sequenz „hallo“ nicht erscheint, (1 - 0,0000019)^ n . Obwohl (1 - 0,0000019) sehr nahe bei 1 liegt, ergibt die n- fache Multiplikation mit sich selbst, sofern n groß genug ist, einen Wert nahe Null. Daher wird der Affe mit beliebig hoher Wahrscheinlichkeit „hallo“ schreiben.

Dasselbe gilt für jede andere Sequenz – selbst für die, die alle Wörter von Hamlet in der richtigen Reihenfolge enthält – und ist die Grundlage des Infinite-Monkey-Theorems. Können wir nun grob abschätzen, wie lange es mit hoher Wahrscheinlichkeit dauern würde, Shakespeares Klassiker zu produzieren? In einem kürzlich erschienenen Artikel wurde berechnet, dass die gesamte derzeitige Affenpopulation mit ziemlicher Sicherheit nicht in der Lage wäre, einen Text mit mehr als ein paar Wörtern zu schreiben, bevor das Universum den Wärmetod begeht.

Ein weiteres interessantes Experiment im Zusammenhang mit diesem Theorem ermöglicht es dem Benutzer, eine beliebige Sequenz einzugeben und die zufällige Generierung von Text zu simulieren, bis die gegebene Sequenz gefunden ist. Zur Texterzeugung verwendet diese Seite sogenannte Pseudozufallszahlengeneratoren . Da sie regelbasiert sind, sind die von diesen Programmen durchgeführten Berechnungen völlig deterministisch: Wenn alle Anfangsbedingungen bekannt sind, kann die generierte Zahl vorhergesagt werden. Mit anderen Worten: Pseudozufallszahlen sind nicht zufällig. Sobald jedoch die Anfangsbedingungen des Generators unbekannt sind, sind die generierten Werte nicht mehr von echten Zufallszahlen zu unterscheiden. Zu diesem Zweck gibt es verschiedene Techniken, wie beispielsweise Generatoren, die auf modularer Arithmetik oder auf Chiffren basieren, um nur einige zu nennen.

Könnten diese im Sinne großer Sprachmodelle schließlich als Ersatz für die Affen in unserem Experiment verwendet werden? Könnten ChatGPT oder DeepSeek spontan „Don Quijote“ schreiben, wenn man sie unendlich lange schreiben ließe? Diese Argumentation ist nicht haltbar, da diese Modelle Text basierend auf der Wahrscheinlichkeit von Wörtern in einem bestimmten Kontext generieren; sie sind nicht das Produkt eines Zufallsprozesses. Und da „Don Quijote“ zu den Texten gehört, mit denen sie trainiert wurden, könnte die Wahrscheinlichkeit, dass sie das gesamte Werk reproduzieren, höher erscheinen als im vorherigen Fall.

Mehrere Faktoren machen dies jedoch äußerst unwahrscheinlich . Erstens sind diese Modelle nicht darauf trainiert, spanische Texte des Goldenen Zeitalters originalgetreu nachzubilden, sondern eher moderne, was es ihnen erschwert, Cervantes' Stil genau wiederzugeben. Darüber hinaus sind diese Programme darauf ausgelegt, große Teile der Lerntexte nicht wörtlich zu übernehmen, was die Wahrscheinlichkeit, vollständige Werke zu reproduzieren, weiter verringert. Dies, zusammen mit anderen Einschränkungen des Programms, bedeutet, dass das Modell zwar bestimmten Textteilen näher kommen könnte als Affen, die Wahrscheinlichkeit, ihn vollständig zu reproduzieren, jedoch äußerst gering ist.

Pablo García Arce ist Doktorand am spanischen Nationalen Forschungsrat (CSIC) am Institut für Mathematische Wissenschaften (ICMAT).

„Kaffee und Theoreme“ ist ein Bereich, der sich der Mathematik und ihrem Entstehungsumfeld widmet und vom Institut für Mathematische Wissenschaften (ICMAT) koordiniert wird. Hier beschreiben Forscher und Mitglieder des Zentrums die neuesten Fortschritte in dieser Disziplin, erläutern Gemeinsamkeiten zwischen Mathematik und anderen sozialen und kulturellen Ausdrucksformen und erinnern an diejenigen, die ihre Entwicklung geprägt und Kaffee in Theoreme verwandelt haben. Der Name erinnert an die Definition des ungarischen Mathematikers Alfred Rényi: „Ein Mathematiker ist eine Maschine, die Kaffee in Theoreme verwandelt.“

Herausgegeben, übersetzt und koordiniert von Ágata Timón García-Longoria . Sie ist Koordinatorin der Abteilung für Mathematische Kultur am Institut für Mathematische Wissenschaften (ICMAT).