Haar, decennia en duiven

Het probleem van vorige week over het aantal mensen met hetzelfde aantal haren op hun hoofd is een duidelijk voorbeeld van de toepassing van het hokjesprincipe (dat we enkele jaren geleden bespraken in verband met sokken en onderbroeken). Ook bekend als het hokjesprincipe of het principe van Dirichlet (vernoemd naar de grote Duitse wiskundige Peter Gustav Dirichlet, die onder andere het moderne concept van een functie introduceerde). De eenvoudigste formulering – en vandaar de naam – is dat als een hokjessysteem 100 hokjes heeft, er maximaal 100 duiven kunnen worden ondergebracht, zodat er slechts één duif in elk hokje zit. Als er meer dan 100 duiven zijn, zal er per hokje noodzakelijkerwijs meer dan één duif zitten.

Als het maximaal mogelijke aantal haren 100.000 is, kunnen er slechts 100.000 mensen met verschillende haartypes zijn (we laten volledig kale mensen – en kale plekken, die ook bestaan ​​– voor de eenvoud buiten beschouwing). Als alle haartypes strikt even waarschijnlijk zouden zijn (wat natuurlijk niet zo is), zouden er in een populatie van 3,5 miljoen mensen 35 zijn met 100.000 haren, 35 met 99.999, 35 met 99.998..., 35 met 2 haren (zoals Homer Simpson) en 35 met één haar. Omdat een dergelijke maximaal gelijkmatige verdeling duidelijk onwaarschijnlijk is, kunnen we statistisch gezien zeker stellen dat er in een stad als Madrid talloze groepen van honderden mensen zullen zijn die op elk willekeurig moment exact hetzelfde aantal haren hebben.

En hoeveel mensen in Madrid kunnen er maximaal zijn met hetzelfde aantal haren? In theorie 3,5 miljoen. In de praktijk konden we alleen een plausibele statistische benadering maken op basis van de beschikbare informatie (indien aanwezig) over de kwantitatieve verdeling van verschillende haartypes.

Wat betreft het minimum aantal schrikkeljaren in een decennium, merkt Ángel Barrientos op: "Als je het decennium kunt beginnen te tellen vanaf een willekeurig jaar, bijvoorbeeld 1897, dan is het minimum 1, aangezien alleen 1904 een schrikkeljaar zou zijn." Dat klopt, aangezien 1900 geen schrikkeljaar was, ondanks dat het deelbaar is door 4.

Strikt genomen is een decennium elk van de tien decennia van een eeuw. Maar in een tweede betekenis is "decennium" synoniem met "decennium", dus bovenstaande schatting is geldig.

Merk overigens de dubbelzinnigheid op die ontstaat door de wijdverbreide gewoonte om decennia te benoemen met ronde getallen, zoals wanneer we het hebben over "de jaren tachtig" of "de roaring twenties". Maakt 1980 deel uit van het decennium waarnaar het verwijst? Was 1920 gek, of is het gewoon aan de race ontsnapt?

En wat betreft de veronderstelde alomtegenwoordige wind, de voorloper van de Zondvloed, zelfs een almachtige God had die niet kunnen ontketenen: het is een topologische absurditeit, zoals de vastepuntstelling aantoont. Maar dat is weer een ander verhaal.

De duiventil en verder

Het hokjesprincipe lijkt misschien voor de hand liggend, maar het biedt een effectieve oplossing voor een groot aantal problemen (vaak in combinatie met de grafentheorie), waarvan sommige eenvoudig zijn en andere niet zo eenvoudig. Bijvoorbeeld:

Hoe vaak moet je met een dobbelsteen gooien om er zeker van te zijn dat je minimaal drie keer hetzelfde getal gooit?

Kies 12 willekeurige tweecijferige getallen. Als je ze van elkaar aftrekt, zul je zien dat er minstens één paar is waarvan het verschil een getal met dezelfde cijfers is. Waarom?

Laat zien dat in een groep van 6 personen er altijd 3 zijn die elkaar kennen en 3 die elkaar niet kennen.