Gyroids, eine mathematische Fantasie, die dank 3D-Druck Naturwunder nachbildet

In den 1960er Jahren suchte die NASA nach neuen, leichten und stabilen Strukturen für ihre Flugzeuge. Sie mussten robust genug sein, um dem Start und den Weltraumbedingungen standzuhalten, gleichzeitig aber auch so leicht wie möglich, um die Treibstoffkosten zu minimieren. Im Jahr 1970 beschrieb einer der Wissenschaftler des Forschungsteams, Alan Schoen , eine neuartige geometrische Form , die er Gyroid nannte. Seine besondere Geometrie entsprach den Zielen der Raumfahrtbehörde; Allerdings war die Herstellung für die damals verfügbaren Werkzeuge zu aufwendig. Dank des 3D-Drucks ist es jetzt möglich, diese mathematische Form zu erstellen, die beim Design von Akustikplatten, Knochenimplantaten und Kunstwerken verwendet wurde.

Gyroide sind Minimalflächen: Ihre mittlere Krümmung beträgt Null. Das heißt, an jedem Punkt der Oberfläche ist die Summe bestimmter Werte, die als Hauptkrümmungen bezeichnet werden, Null. Dieses geometrische Konzept lässt sich beispielsweise an der gewundenen Form der Seifenlauge auf einem runden Draht erkennen, wenn man ihn darin eintaucht.

Darüber hinaus sind sie dreifach periodisch , das heißt, sie wiederholen sich in drei Raumrichtungen. Dies ermöglicht die Konstruktion einer „zusammengesetzten“ Gyroidform, wobei die ursprüngliche Form beliebig oft in alle drei Richtungen wiederholt wird. Andererseits enthalten Gyroide keine geraden Linien und können nicht in symmetrische Teile zerlegt werden, was ihre Visualisierung besonders schwierig macht. Und bis vor kurzem war ihr Bau zudem äußerst kompliziert.

Die additive Fertigung – auch als 3D-Druck bekannt und seit den 1980er Jahren bekannt – hat ihre Herstellung erstmals möglich gemacht. Um einen Gyroid zu drucken, müssen Sie ihn zunächst digital entwerfen, indem Sie die mathematische Formel verwenden, die ihn beschreibt, und die Herstellungsanweisungen an den Drucker senden. Die genaue Formel für den Gyroid ist sehr kompliziert, kann aber durch eine einfache Gleichung angenähert werden, die nur trigonometrische Funktionen, Multiplikationen und Additionen umfasst: sin(x)cos(y) + sin(y)cos(z) + sin(z)cos(x) = 0.

Je nach Anwendungszweck können Gyroide aus Kunststoff, Keramik, Beton oder auch Metall bestehen. Der Metalldruck funktioniert etwas anders als üblich: Ein Laser schmilzt die zu fertigende Figur Schicht für Schicht auf eine Schicht aus feinstem Metallpulver. Durch die Möglichkeit, komplexe Designs herzustellen, können die gewünschten Eigenschaften – dank der konstruierten Struktur – unter Verwendung leicht erhältlicher Metalle beibehalten werden. Dadurch wird der Einsatz teurer und geostrategischer Metalle wie Seltener Erden vermieden. Das Ergebnis sind nachhaltigere, präzisere, komplexere und robustere Teile .

Aus struktureller Sicht hat der Gyroid sehr interessante Eigenschaften. Erstens weist es eine hohe mechanische Widerstandsfähigkeit auf. Eine nützliche Analogie hierzu ist das Blatt Papier: Es trägt nicht viel Gewicht, kann aber, wenn man es zu einer Röhre rollt, einer viel größeren Belastung standhalten – und zwar entlang seiner Längsachse. Ähnliches passiert bei Gyroiden: Durch die Biegung der Oberflächen entlang aller drei Achsen entsteht eine Struktur, die höheren Belastungen standhält. Bei dieser Konstruktion trägt das Gebäude mit weniger Material das gleiche Gewicht, da die Struktur aus leichteren Elementen besteht.

Die Natur hat sie zuerst entdeckt

Ein weiteres Merkmal des Gyroids ist seine große spezifische Oberfläche: Durch die komplexe Geometrie der Vertiefungen in der Zusammensetzung entsteht eine große Oberfläche pro Volumeneinheit. Dies macht sie zu optimalen Wärmetauschern, denn je größer die Kontaktfläche, desto besser die Wärmeübertragung.

Gyroids wurden in einer Vielzahl von Industriedesigns – von Akustikplatten über Postverpackungen bis hin zu Schuheinlagen – und sogar in der Kunst verwendet. Auch in der Biomedizin ; Gyroide bilden die innere Knochenstruktur des Menschen fast exakt nach: Sie ähneln nicht nur seiner Form, sondern können auch Gewicht tragen und ihre Hohlräume ermöglichen eine schnelle Vermehrung der Osteoblasten – der für die Knochenregeneration verantwortlichen Zellen. Darüber hinaus können sie, wenn sie aus biologisch abbaubarem Material bestehen, ohne Risiko in den Körper des Patienten integriert werden.

Jahrzehnte nach Schoens mathematischer Entdeckung der Gyroide im Jahr 1970 begann man, Gyroide auch in der Natur zu finden: Man beobachtete sie in den Mitochondrien von Zellen und den Flügeln von Schmetterlingen sowie in der porösen, leichten Struktur menschlicher Knochen. Dies ist ein weiteres Beispiel dafür, dass uns die Evolution bei der Suche nach dem besten Design einen Vorsprung verschafft hat und wir es durch unsere Forschung schließlich einfach wiederentdecken.

Ana López-Terradas ist Wirtschaftsingenieurin und Leiterin der Plattform für additive Fertigung ( FAB3D ) des CSIC am Nationalen Zentrum für metallurgische Forschung ( CENIM ).

Jon Gurutz Arranz Izquierdo ist ein Wissenschaftsjournalist, der ein Stipendium des CSIC – BBVA Foundation Scientific Communication Grant Program erhalten hat.

Ágata Timón García-Longoria ist Koordinatorin der Abteilung für Mathematische Kultur am ICMAT.

Kaffee und Theoreme Es handelt sich um einen Bereich, der der Mathematik und ihrem Entstehungsumfeld gewidmet ist und vom Institut für Mathematische Wissenschaften (ICMAT) koordiniert wird. In diesem Bereich beschreiben Forscher und Mitglieder des Zentrums die neuesten Fortschritte in dieser Disziplin, teilen Berührungspunkte zwischen der Mathematik und anderen sozialen und kulturellen Ausdrucksformen und erinnern an diejenigen, die ihre Entwicklung geprägt haben und wussten, wie man Kaffee in Theoreme umwandelt. Der Name erinnert an die Definition des ungarischen Mathematikers Alfred Rényi: „Ein Mathematiker ist eine Maschine, die Kaffee in Theoreme umwandelt.“